Übersicht der Axiome
Inzidenzaxiome
Axiom (A1)
Zu zwei verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, mit der die beiden inzidieren.
Axiom (A2)
Zu jeder Geraden gibt es (mindestens) zwei verschiedene Punkte, die mit ihr inzidieren.
Axiom (A3)
Es gibt (mindestens) drei Punkte, die nicht mit derselben Geraden inzidieren.
Anordnungsaxiome
Axiom (A4)
Die Punkte einer Geraden \(g\) lassen sich auf genau zwei Weisen streng linear ordnen:
\(<\) entspricht „... vor ...“ und
\(>\) entspricht „... nach ...“.
Die beiden Ordnungsrelationen sind Umkehrrelationen voneinander.
Für Punkte \(P, Q, R\in g\) für die Ordnungsrelation gilt:
Trichotomie: \(P=Q\) oder \(P<Q\) oder \(P>Q\)
Transitivität: \(P<Q\) und \(Q<R\) folgt \(P<R\)
Axiom (A5)
Auf einer Geraden \(g\) durch \(P\) und \(Q\) mit \(P<Q\) gibt es drei Punkte \(R,S,T\in g\), so dass gilt: \(R<P<S<Q<T\).
Axiom von PASCH
Axiom (A6)
Seien \(A, B,C \) drei nicht kollineare Punkte außerhalb einer Geraden \(g\). Schneidet \(g\) eine der Strecken \( \overline{AB} \), \( \overline{AC} \) oder \( \overline{BC} \), so auch eine weitere dieser drei Strecken.
Axiome der Längenmessung
Axiom (A7)
Zwei Punkten \(A\) und \(B\) lässt sich eindeutig eine nicht negative Zahl \( \vert\overline{AB}\vert\) zuordnen, genannt Streckenlänge oder Entfernung, so dass gilt:
(1) \(\;\vert\overline{AB}\vert=0 \Leftrightarrow A=B\)
(2) \(\;\vert\overline{AB}\vert=\vert\overline{BA}\vert\)
(3) Streckengleichung: \(\;\vert\overline{AB}\vert+\vert\overline{BC}\vert=\vert\overline{AC}\vert\Leftrightarrow A\neq C \land B \in \overline{AC}\)
(4) Dreiecksungleichung: \(\;\vert\overline{AB}\vert+\vert\overline{BC}\vert>\vert\overline{AC}\vert\Leftrightarrow A\neq C \land B \notin \overline{AC}\)
Axiom (A8)
Zwei verschiedene Kreise haben höchstens zwei gemeinsame Punkte.
Zwei Kreise \(k_1\) und \(k_2\) haben genau zwei gemeinsame Punkte, wenn zu \(k_1\) mindestens ein innerer und mindestens ein äußerer Punkt von \(k_2\) gehört.
Axiom (A9)
Auf jeder Halbgeraden gibt es genau einen Punkt \(P\), der vom Anfangspunkt eine vorgegebene Entfernung hat.
Axiome der Winkelmessung
Axiom (A10)
Allen nicht-kollinearen Punktetripeln lässt sich eindeutig derselbe Umlaufsinn zuordnen. Das ist auf genau zwei Arten möglich:
positiv: gegen den Uhrzeigersinn
negativ: mit dem Uhrzeigersinn
Axiom (A11)
Jedem Winkel \(\alpha = \measuredangle ASB\) lässt sich eindeutig eine nicht negative reelle Zahl \(\vert\alpha\vert\) (Maß des Winkels ind Grad) zuordnen, wobei gilt:
a) \( \vert \measuredangle ASB \vert = 0° \Leftrightarrow B \in [\overline{SA}\)
b) \( \vert \measuredangle ASB \vert = 180° \Leftrightarrow S \in \overline{AB }\)
c) Additivität:
Das Maß eines Winkels ist gleich der Summe der Maße der Teilwinkel, in die er zerlegt ist (mittels Halbgeraden durch \(S\)).
Axiom (A12)
Zu jeder Halbgeraden \( a = [\overline{SA}\) gibt es genau eine Halbgerade \( b = [\overline{SB}\), so dass \( \measuredangle ab\) ein vorgegebenes Maß hat.
Axiom (A13)
Zu einer Geraden gibt es durch jeden Punkt genau eine Senkrechte.
Parallelenaxiom
Axiom (A14)
Zu jeder Geraden gibt es durch jeden Punkt genau eine Parallele.
Axiome der Achsenspiegelung
Axiom (A15) – Geradentreue
Das Bild der Gerade \(AB\), ist die Gerade \(A'B'\):
Axiom (A16) – Streckentreue
Strecke und Bildstrecke sind gleich lang.
Axiom (A17)
Das Bild des Winkels \(\measuredangle ab\) ist der Winkel \(\measuredangle b'a'\). Insbesondere ändert sich der Umlaufsinn.
Axiom (A18) – Winkeltreue
\(\alpha\) und \(\alpha'\) haben gleiches Maß.
Axiom (A19):
Bei einer Doppelachsenspiegelung an zwei parallelen Geraden sind Gerade und Bildgerade parallel.
Flächeninhaltsaxiom
Axiom (A20)
Jeder Polygonfäche \(F\) lässt sich eindeutig eine Zahl \(\vert F\vert \in \mathbb{R}^+\) zuordnen (genannt der Flächeninhalt des Polygons) derart, dass gilt:
Zwei kongruente Polygone haben denselben Inhalt.
Ist \(F\) in Teilfächen \(F_i\) zerlegt, so gilt: \(\vert F \vert = \Sigma \vert F_i \vert \).
Ein Quadrat der Seitenlänge \(1\) hat den Inhalt \(1\).