Dreifachachsenspiegelungen
Die Spiegelungen an den Achsen \(s\), \(t\) bzw. \(u\) werden mit \(S_s\), \(S_t\) und \(S_u\) bezeichnet.
Eine Dreifachachsenspiegelung ist eine Hintereinanderausführung von drei Achsenspiegelungen.
Ein Punkt \(P\) wird zuerst an der Achse \(s\) und anschließend an den Achsen \(t\) und \(u\) gespiegelt.
\(S_s : P \overset{S_s }{\rightarrow} P^*\)
\(S_t : P^* \overset{S_t}{\rightarrow} P^{**}\)
\(S_u : P^{**} \overset{S_u}{\rightarrow} P'\)
\(S_u \circ S_t \circ S_s : P \overset{S_u \circ S_t \circ S_s}{\rightarrow} P'\)
Lage der Achsen
Keine Schnittpunkte
Die drei Achsen besitzen (paarweise) keine gemeinsamen Punkte. Sie liegen parallel zueinander.
\(s \parallel t \parallel u\)
Ein gemeinsamer Schnittpunkt
Die drei Achsen schneiden sich in einem Punkt. Die Geraden sind kopunktal.
\(s \cap t \cap u = S\)
Eine Achse schneidet zwei parallele Achsen
Zwei Achsen liegen parallel zueinander, die dritte Achse schneidet die beiden Achsen. Bei der Dreifachachsenspiegelung \(S_u \circ S_t \circ S_s\) liegen entweder dier ersten beiden Achsen \(s\) und \(t\) oder die beiden Achsen \(t\) und \(u\) parallel zueinander.
\(s \parallel t\) und \(s \cap u = S_1\) und \(t \cap u = S_2\)
\(t \parallel u\) und \(s \cap t = S_1\) und \(s \cap u = S_2\)
Drei Achsen schneiden sich in drei (verschiedenen) Punkten
Die drei Achsen schneiden sich paarweise in drei (verschiedenen) Punkten.
\(s \cap t =S_1\) und \(t \cap u = S_2\) und \(s \cap u = S_3\)
Dreispiegelungssatz
Definition 4
Die Menge aller Geraden einer Ebene
- durch einen gemeinsamen Punkt sowie
- die Menge aller zueinander parallelen Geraden
bilden jeweils ein Büschel.
Liegt ein Büschel von parallelen Geraden vor, so kann deren gemeinsamer "Schnittpunkt" als Punkt im Unendlichen gesehen werden.
Satz 21 – Dreispiegelungssatz
Jede Dreifachspiegelung ist genau dann eine (einzige) Spiegelung, wenn die drei Achsen im Büschel liegen.
Beweisidee von Satz 21
" \(\Leftarrow\) "
1. Fall
Die drei Achsen \(s\), \(t\) und \(u\) besitzen einen gemeinsamen Schnittpunkt \(S\) .
Die ersten beiden Achsenspiegelungen \(S_s\) und \(S_t\) können als Drehung \(D_{S;2\alpha}\) aufgefasst werden. Die Lage der beiden Achsen kann verändert werden, solange deren Schnittwinkel \(\alpha\) und Schnittpunkt \(S\) erhalten bleiben.
Werden die beiden Achsen \(s\) und \(t\) am Punkt \(S\) um den Winkel \(\beta\) gedreht, so kommen die Achsen \(t'\) und \(u\) zur Deckung, d. h. \(t'=u\) bzw. \(S_u\circ S_{t'}=id\).
\(S_u\circ S_t \circ S_s = S_u\circ S_{t'} \circ S_{s'} = (S_u\circ S_{t'}) \circ S_{s'} = id \circ S_{s'}= S_{s'}\)
Die Dreifachachsenspiegelung mit den im Büschel sich schneidenden Achsen kann auf eine einzige Achsenspiegelung zurückgeführt werden.
2. Fall
Die drei Achsen \(s\), \(t\) und \(u\) liegen parallel zueinander.
\(S_t\circ S_s\) kann als Verschiebung in Richtung \(\vec{d_{st}}\) aufgefasst werden. Die Lage der beiden Achsen kann verändert werden, solange deren Abstand \(\vert\vec{d_{st}}\vert\) und Richtung erhalten bleiben.
Werden die beiden Achsen \(s\) und \(t\) in Richtung \(\vec{d_{tu}}\) (entspricht Richtung \(\vec{d_{st}}\)) um \(\vert\vec{d_{tu}}\vert\) verschoben, so kommen die Achsen \(t'\) und \(u\) zur Deckung, d. h. \(t'=u\) bzw. \(S_u\circ S_{t'}=id\).
Nun folgt die analoge Überlegung wie bei Fall 1:
\(S_u\circ S_t \circ S_s = S_u\circ S_{t'} \circ S_{s'} = (S_u\circ S_{t'}) \circ S_{s'} = id \circ S_{s'}= S_{s'}\)
Die Dreifachachsenspiegelung mit parallelen Geraden kann auf eine einzige Achsenspiegelung zurückgeführt werden.
" \(\Rightarrow\) "
Eine Dreifachspiegelung kann auf eine einzige Spiegelung zurückgeführt werden:
\(S_u\circ S_t \circ S_s = S_v\)
Eine vierte Achsenspiegelung an \(u\) ergibt:
\(S_u\circ S_u\circ S_t \circ S_s = S_u\circ S_v\)
Da \(S_u\circ S_u = id\) gilt:
\((S_u\circ S_u)\circ S_t \circ S_s = id \circ S_t \circ S_s = S_t \circ S_s = S_u\circ S_v\)
1. Fall
\(S_t\circ S_s\) ist eine Parallelverschiebung mit \(s \parallel t\).
Damit repäsentiert \(S_u\circ S_v\) dieselbe Parallelverschiebung mit \(u \parallel v\) und \(dist(s,t)=dist(u,v)\).
Damit liegen \(s\), \(t\) und \(u\) parallel zueinander, d.h. sie liegen im Büschel.
2. Fall
\(S_t\circ S_s\) ist eine Drehung mit \(s \cap t = S\) und \(\vert\measuredangle st\vert = \vert\alpha\vert\).
Damit repäsentiert \(S_u\circ S_v\) dieselbe Drehung mit \(u \cap v=S\) und \(\vert\measuredangle uv\vert = \vert\alpha\vert= \vert\measuredangle st\vert\).
Damit verlaufen \(s\), \(t\) und \(u\) durch den gemeinsamen Punkt \(S\), d.h. sie liegen im Büschel.
\(\square\)
Schubspiegelung
Definition 5
Die Hintereinanderausführung einer Achsenspiegelung und einer Verschiebung (Translation) in Richtung der Spiegelachse wird als Schubspiegelung bezeichnet.
Alternativ ist auch der Name Gleitspiegelung gebräulich.
Bemerkung
Bei einer Schubspiegelung ist die Reihenfolge der Teilabbildungen (Achsenspiegelung \(S_a\) und Verschiebung \(V=S_t\circ S_s\)) unerheblich:
\(V\circ S_a = S_a\circ V\)
Folgerung
Eine Schubspiegelung kann man auf zwei Arten als Verkettung einer Achsen- und einer Punktspiegelung darstellen:
\(S_t\circ P_{S_1} = P_{S_2}\circ S_s\) mit \(P_{S_1} = S_s\circ S_a= S_a\circ S_s\) und \(P_{S_2} = S_t\circ S_a= S_a\circ S_t\).
Lagebeziehungen
Liegen drei Achsen nicht im Büschel, können die folgenden Fälle unterschieden werden:
- Die drei Achsen schneiden sich paarweise in drei (verschiedenen) Punkten.
- Zwei Achsen liegen parallel zueinander, die dritte Achse schneidet die beiden Achsen.
Diese beiden Fälle können auf eine Schubspiegelung zurückgeführt werden. Die folgende Animation veranschaulicht das Vorgehen im ersten Fall.
Der zweite Fall kann analog gezeigt werden.
Satz 22
Jede Dreifachspiegelung an drei Geraden, die nicht im Büschel liegen, ist eine Schubspiegelung.
Beweis von Satz 22
Erweiterter Dreispiegelungssatz
Satz 23
Erweiterter Dreispiegleungssatz
Jede Dreifachspiegelung ist entweder eine Spiegelung oder eine Schubspiegelung.
Beweis von Satz 23