Exkurs: Flächeninhalt des Trapezes
Satz
Ein Trapez mit den beiden parallelen Seiten \(a\) und \(c\) besitzt den Flächeninhalt \(\frac{\vert a\vert+\vert c\vert}{2}\cdot \vert h\vert\).
Beweis
In der Schule
Im Geometrieunterricht bieten sich verschiedene Herangehensweisen zur Erarbeitung dieser Formel an. Dabei wird der Flächeninhalt des Trapezes mithilfe bereits bekannter Flächeninhaltsformeln anderer Figuren ermittelt. Als Strategie wird hier jeweils Rückführen auf Bekanntes angewandt.
Variante 1
Der Flächeninhalt des Trapezes wird als Produkt des arithmetischen Mittels der beiden Seitenlängen \(\vert a\vert\) und \(\vert c\vert\) sowie der Länge der Höhe \(\vert h\vert\) interpretiert:
\(A_{Trapez}=\frac{\vert a\vert+\vert c\vert}{2}\cdot \vert h\vert\)
Die beiden Faktoren können als Längen von zwei Strecken betrachtet werden. \(\frac{\vert a\vert+\vert c\vert}{2}\) ist die Länge der Strecke \(m=\overline{MN}\), wobei die Punkt \(M\) und \(N\) die Mittelpunkte der Strecken \(b\) und \(d\) sind. \(m\) ist demnach die Mittelparallele des Trapezes. \(\vert h\vert\) stellt die Länge der Höhe \(h\) dar. Das Produkt ergibt den Flächeninhalt eines Rechtecks. Die Überführung des Trapezes in das entsprechende Rechteck kann in der Interaktion (Schieberegler) nachvollzogen werden.
Im Unterricht kann das Trapez entsprechend zerschnitten und die Teile zu einem Rechteck gelegt werden.
Variante 2
Der Inhalt der Trapezfläche wird als Produkt der Summe der Streckenlängen \(\vert a\vert\) und \(\vert c\vert\) sowie der "halben Länge" der Höhe \(\frac{\vert h\vert}{2}\) bestimmt.
\(A_{Trapez}=(\vert a\vert+\vert c\vert)\cdot \frac{\vert h\vert}{2}\)
Fasst man die beiden Faktoren als Streckenlängen eines Parallelogramms auf, stellt das Produkt dessen Flächeninhalt dar.
Ein ausgeschnittenes Trapez wird entlang seiner Mittelparallelen in zwei Teiltrapeze zerschnitten. Diese beiden Teiltrapeze lassen sich zu einem Parallelogramm zusammenlegen.
Variante 3
Wird das Trapez durch ein kongruentes Trapez zu einem Parallelogramm ergänzt, so lässt sich der Flächeninhalt des Trapezes als die Hälfte des Flächeninhalts des Parallelogramms ermitteln. Die Grundseite des Parallelogramms besitzt die Länge \(\vert a\vert+\vert c\vert\) und die Länge der Höhe beträgt \(\vert h\vert\).
\(A_{Trapez}=\frac{(\vert a\vert+\vert c\vert)\cdot \vert h\vert}{2}=\frac{1}{2}\cdot(\vert a\vert+\vert c\vert)\cdot \vert h\vert\)
Das Parallelogramm entsteht durch Punktspiegelung des Trapezes am Mittelpunkt \(M\) der Seite \(b\).
Zwei kongruente Trapeze bilden ein Paralellogramm.
Variante 4
Die Zerlegung des Trapezes in zwei Dreiecke mit selber Höhe ermöglicht die Berechnung dessen Flächeninhalts als Summe der Flächeninhalte der beiden Teildreiecke.
\(A_{Trapez}=\frac{1}{2}\vert a\vert\cdot \vert h\vert+\frac{1}{2}\vert c\vert\cdot \vert h\vert\)
Die Unterteilung des Trapezes erfolgt durch die Ergänzung einer Diagonalen (\(\overline{AC}\) bzw. \(\overline{BD}\)) des Trapezes.
Ein Trapez wird entlang einer seiner Diagonalen zerschnitten. Es entstehen zwei Dreicke.
