Vierecke
Definition 3
Ein punktsymmetrisches Viereck heißt Parallelogramm.
Bemerkung
Ein Parallelogramm hat gegenüberliegende parallele Seiten (Eigenschaft der Punktspiegelung).
Satz 11
Umkehrung der Bemerkung
Ein Viereck mit parallelen Gegenseiten ist ein Parallelogramm.
Beweis von Satz 11
Folgerung
Bei einem Parallelogramm gilt:
- Gegenseiten sind gleich lang.
- Gegenwinkel sind gleich groß.
- Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig.
Satz 12
Die Seitenmitten eines beliebigen Vierecks sind die Ecken eines Parallelogramms.
Beweis von Satz 12
Sonderformen des Parallelogramms
Rechteck: Parallelogramm mit einem (und somit vier) rechten Winkel. Aus der Umkehrung des Satzes vom Thales folgt, dass alle vier Punkte des Rechtecks auf einem Kreis liegen und die Diagonalen gleich lang sind.
Raute: Parallelogramm mit zwei gleich langen benachbarten Seiten (somit vier gleich langen Seiten). Spiegelung der Raute an einer Diagonalen lässt erkennen, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. Da die Diagonalen Winkelhalbierende sind, besitzt die Raute einen Inkreis (Mittelpunkt ist Schnittpunkt der Diagonalen).
Quadrat: Viereck, das zugleich Rechteck und Raute ist.
Satz 13
Napoleon für Vierecke
Errichtet man über jeder Seite eines Parallelogramms ein Quadrat, so bilden die Quadratmitten wieder ein Quadrat.
Beweis von Satz 13
Definition 4
Ein zu einer Diagonalen achsensymmetrisches Viereck heißt Drachen.
Bemerkung
Drachen können auch nicht-konvex sein.
Folgerungen
Eigenschaften des Drachen:
- Seiten mit gemeinsamem Achsenpunkt sind gleich lang.
- Die beiden Winkel außerhalb der Achse sind gleich groß.
- Die Achse halbiert die von ihr getroffenen Winkel.
- Die Achse halbiert die andere Diagonale und steht auf ihr senkrecht.
Sonderfälle
- Raute: Drache mit zwei gleich langen Seiten auf derselben Achsenseite
- Rechtwinkliger Drache: Rechter Winkel außerhalb der Achse. Besitzt Umkreis.
- Quadrat: Raute + rechtwinkliger Drache.
Definition 5
Ein Viereck mit zwei parallelen Seiten heißt Trapez. Dessen andere beiden Seiten heißen Schenkel.
Satz 14
Wird ein Trapez am Mittelpunkt eines Schenkels gespiegelt, so entsteht ein Parallelogramm.
Beweis von Satz 14
Sonderfälle
Die Schenkel sind gleich lang:
- nicht parallel: achsensymmetrisches Trapez
- parallel: Parallelogramm
Definition 6
Ein Viereck mit Inkreis heißt Tangentenviereck.
Ein Viereck mit Umkreis heißt Sehnenviereck.
Satz 15
\(ABCD\) Sehnenviereck \(\Leftrightarrow \vert \alpha \vert + \vert \gamma \vert = \vert \beta \vert + \vert \delta \vert\)
Beweis von Satz 15
(Hilfs-)Satz 16
Die Tangentenabschnitte der zwei Tangenten von einem Punkt \(P\) außerhalb eines Kreises \(k(M;r)\) an \(k\) sind gleich lang.
Beweis von Satz 16
Satz 17
Satz vom Tangentenviereck
Ein konvexes Viereck \(ABCD\) ist Tangentenviereck \(\Leftrightarrow\)\( \vert AD \vert + \vert BC \vert = \vert AB \vert + \vert CD \vert \)
Die Richtung "\(\Rightarrow\)" wird auch als Satz von Pitot bezeichnet.
Beweis von Satz 17