Reguläre Polygone

Definition 7

Ein Vieleck heißt regulär bzw. regelmäßig, wenn seine Seiten gleich lang und seine Innenwinkel gleich groß sind.

Fünfeck – Pentagon

Im Unterricht kann auf sehr anschauliche Weise ein regelmäßiges Fünfeck erzeugt werden. Ausgangspunkt ist ein Papierstreifen.

Dieser Papierstreifen wird einfach geknotet und der Knoten anschließend flachgedrückt. Die überstehenden Streifenenden können umgeknickt oder abgeschnitten werden.

Goldener Schnitt

Satz 18

Die Diagonalen im regelmäßigen Fünfeck teilen sich im Verhältnis des Goldenen Schnitts.

Beispielsweise gilt \[\frac{\vert\overline{AC}\vert}{\vert\overline{AG}\vert}=\frac{\vert\overline{AG}\vert}{\vert\overline{CG}\vert}.\]

Übersichtlicher gilt mit \(x=\vert\overline{AG}\vert\) und y=\(\vert\overline{CG}\vert\): \[\frac{x+y}{x}=\frac{x}{y}\Leftrightarrow\] \[x^2-xy-y^2=0\] \[\Rightarrow x_{1/2}=\frac{1}{2}y(1\pm\sqrt{5})\]

Da hier \( x>y\) gilt, ergibt sich für das Teilverhältnis der Diagonalen \[\frac{x}{y}=\frac{1}{2}y(1+\sqrt{5})=\phi\approx 1,6180.\]

Der Goldene Schnitt wird mit \(\phi\) bezeichnet. Sein Kehrwert mit \[\varphi=\frac{1}{\phi}=\frac{y}{x}\approx 0,6180.\]

Beweis von Satz 18 mittels Ähnlichkeit (später)

Konstruktion

Die Strecke \(\overline{AB}\) soll im Verhältnis des Goldenen Schnitts geteilt werden.

Konstruktion des Mittelpunkts \(M\) der Strecke \(\overline{AB}\)

1. \(k_1(A,B)\)
2. \(k_2(B,A)\)
3. \(k_1\cap k_2=\{C,D\}\)
4. \(CD\cap AB = M\)

Konstruktion der Senkrechte \(FG\) zu \(AB\) durch \(B\)

5. \(AB\cap k_2=E\)
6. \(k_3(A,E)\)
7. \(k_4(E,A)\)
8. \(k_3\cap k_4=\{F,G\}\)

Konstruktion des Teilpunkts \(T\)

9. \(k_5(B,M)\)
10. \(k_5\cap FG=H\)
11. \(k_6(H, B)\)
12. \(k_6\cap AH=I\)
13. \(k_7(A,I)\)
14. \(k_7\cap AB=T\)