Satzgruppe des Pythagoras

Satz 8

Kathetensatz

Im rechtwinkligen Dreieck ist ein Kathetenquadrat inhaltsgleich dem Rechteck aus der Hypotenuse und dem der Kathete anliegenden Hypotenusenabschnitt.

\(\vert \overline{AC}\vert^2 = \vert \overline{AH_c}\vert \cdot\vert \overline{AB}\vert\)

bzw.

\(\vert \overline{BC}\vert^2 = \vert \overline{BH_c}\vert \cdot\vert \overline{AB}\vert\)

Beweis von Satz 8

Satz 9

Satz des Pythagoras

Beim rechtwinkligen Dreieck ist der Inhalt des Hypotenusenquadrats gleich der Summe der Inhalte der beiden Kathetenquadrate.

\(\vert \overline{AB}\vert^2 = \vert \overline{BC}\vert^2 + \vert \overline{AC}\vert^2\)

Beweis von Satz 9

Folgerung aus dem Kathetensatz

Satz 10

Umkehrung des Satzes von Pythagoras

Gilt für die Seitenlängen \(a\),\(b\) und \(c\) eines Dreiecks \(a^2+b^2=c^2\), so ist es rechtwinklig mit \(c\) als Hypotenuse.

\(a=\vert \overline{BC}\vert\), \(b=\vert \overline{AC}\vert\) und \(c=\vert \overline{AB}\vert\)

Beweis von Satz 10

Idee: Konstruktion eines zu \(\Delta ABC\) kongruenten rechtwinkligen Dreiecks \(\Delta A'B'C'\). Damit ist auch \(\Delta ABC\) rechtwinklig.

Satz 11

Höhensatz

Beim rechtwinkligen Dreieck ist das Höhenquadrat inhaltsgleich dem Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten.

\(\vert \overline{CH_c}\vert^2 = \vert \overline{AH_c}\vert \cdot\vert \overline{BH_c}\vert\)

Beweis von Satz 11