Parkette
Definition 8
Ein Parkett besteht aus einer Menge an Polygonen \(P_i\) mit \(i\in \textbf{N}\) für die gilt:
- Für die Ebene \(E\) ist \(\large\cup\)\(P_i = E\) mit \(i\in\textbf{N}\) und
- \(P_i\cap P_j = \emptyset \; \vee P_i\cap P_j \subset R_{P_i}\cup R_{P_j}\) für alle \(i, j \in \textbf{N}, i\neq j\), wobei \(R\) der Rand eines Polygons ist.
Die Polygone \(P_i\) heißen Fliesen bzw. Parkettsteine.
Ein Parkett ist also eine lückenlose und überschneidungsfreie Überdeckung der Ebene. Diese Überdeckung wird auch als Parkettierung der Ebene bezeichnet.
Ein Beispiel ist das folgende Parkett.
Arten von Parketten
Definition 9
Ein Parkett wird normal genannt, wenn die Ecken der Polygone nur auf Ecken anderer Polygone liegen.
Folgende Situation ist bei normalen Parketten nicht erlaubt, da Punkt \(A\) auf einer Seite des anliegenden Polygons liegt und nicht auf einer Ecke:
Parkette mit nur einer Art von Fliesen
Parkette aus kongruenten Dreiecken
Parkette aus kongruenten Vierecken
Wie entsteht dieses Parkett?
Reguläre Parkette
Definition 10
Besteht ein normales Parkett nur aus regelmäßigen Polygonen gleicher Seitenlänge und Eckenanzahl, so heißt dieses Parkett regelmäßig.
Satz 19
Es gibt genau drei regelmäßige Parkette.
Bei normalen Parketten treffen die Ecken der Polygone jeweils auf Ecken anderer Polygone und niemals auf deren Seiten (ohne die Enden).
An diesen Parkettecken treffen daher \(a\) Polygonecken zusammen. Das Maß der Innenwinkel dieser regelmäßigen Polygone beträgt \(\frac{n-2}{n}\cdot 180°\), wobei \(n\) die Anzahl der Ecken der einzelnen Polygone darstellt. An jeder Parkettecke gilt für die Innenwinkelmaße demnach: \[360°=a\cdot \frac{n-2}{n}\cdot 180° \Leftrightarrow\] \[2=a\cdot \frac{n-2}{n}\Leftrightarrow\] \[4=(a-2)\cdot(n-2)\] Das Dreieck ist das regelmäßige Polygon mit den wenigsten Ecken und daher gilt \(n>2\). An jeder Parkettecke müssen mindestens drei regelmäßige Polygone aneinanderstoßen und somit ist \(a>2\). Da \(4=2\cdot 2\) ist, können \((a-2)\) bzw. \((n-2)\) nur die Werte \(1\) und \(2\) annehmen. Somit sind folgende Kombinationen für \(a\) und \(m\) möglich:
Parkett aus regelmäßigen Sechsecken mit \(a=3\) und \(n=6\)
Parkett aus Quadraten mit \(a=4\) und \(n=4\)
Parkett aus regelmäßigen Dreiecken mit \(a=6\) und \(n=3\)
Penrose-Parkette
Penrose-Parkette sind aperiodoisch und wurden nach dem Physiker Roger Penrose benannt.
Rautenparkett
Die Parkettsteine des "Rautenparketts" bestehen aus zwei verschiedenen Rauten mit Seitenlänge \(1\) und den Diagonalenlängen \(\frac{1}{\Phi}\) bzw. \(\Phi\). In der folgenden Abbildung besitzen diese Rauten kleine Markierungen (Dreieck bzw. Halbkreis), die angeben, welche Seiten der Rauten aneinandergelegt werden dürfen.
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Drachenparkett
Das "Drachenparkett" setzt sich aus zwei verschieden Parkettsteinen in Form von Drachenvierecken zusammen.
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Diese Parkettsteine lassen sich auf sieben verschiedene Arten (an einer Ecke) zusammensetzen.
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Voronoi-Diagramm
Ein Beispiel: Ausgehend von vorgegebenen Startpunkten (Zentren) findet ein radiales Wachstum statt.
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