Archimedes
( 287 - 212 v. Chr.)
Archimedes Entdecker von
- Hebelgesetz
- statischem
 Auftrieb
- Schwerpunkt


Archimed. Körper

sind:

1. konvexe Polyeder

2. Flächen:
 reguläre Polygone
 verschiedener
 Typen

3. Ecken: kongruent

Abgestumpftes Tetraeder

Abgestumpftes Tetraeder

Abgestumpftes Oktaeder

Abgestumpftes Oktaeder

Abgestumpfter Würfel

Abgestumpfter Würfel

Abgestumpftes Ikosaeder

Abgestumpftes Ikosaeder

Abgestumpftes Dodekaeder

Abgestumpftes Dodekaeder

Kuboktaeder

Kuboktaeder

Ikosidodekaeder

Ikosidodekaeder

(kleines) Rhomben- kuboktaeder

Rhombenkuboktaeder

(kleines) Rhomben- ikosidodekaeder

Rhombenikosidodekaeder

abgestumpftes Kuboktaeder

abgestumpftes Kuboktaeder

abgestumpftes Ikosidodekaeder

abgestumpftes Ikosidodekaeder

abgeschrägter Würfel

abgeschrägter Würfel

abgeschrägtes Dodekaeder

abgeschrägtes Dodekaeder

(Abb. Sam Gratrix)


Salvador Dalí
(1904-1989)

"Alles, was widersprüchlich ist, schafft Leben."

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Demokrit v. Abdera
(460 -371 v. Chr.)

Begründer der Atomistik.

Vielheit und Veränderung sind das Wesen der Wirklichkeit
(vgl. Parmenides)

Höchstes Gut ist die Glückseligkeit durch maßvolle und gleichmütige Haltung.


Drehachsen

- zweizählig:
der Körper geht bei Drehung um 0° (Idendität) und um 180° in sich über.

- dreizählig:
dies geschieht bei 0°, 120°, 240°

usf.


Empedokles
(ca. 490 - 430 v.Chr.)

griech. Philosoph, Heilkundiger, Verkünder der Seelenwanderungs- lehre.

Entwickelt Lehre der Eleaten (Parmenides) und Heraklits weiter.


M.C. Escher
(1898-1972)

Niederländischer Graphiker mit Faible für Mathematik.

Mehr über M.C. EscherMehr über M.C. Escher

"Staunen ist das Salz der Erde"


Euklid v. Alexandria
(~300 v.Chr.)

Mehr über Euklid ...Mehr über Euklid ...

Verfasste die Elemente - das Buch der Bücher der Mathematik


Leonhard Euler
(1707 - 1783)
Der Polyedersatz ...untersuchte::

Kreiselbewegung, Strömung, Variationsrechnung,
Musiktheorie, Planetenbewegung, Ballistik.

Kurz-Biographie


Werner Heisenberg
(1901 - 1976)
W. HeisenbergPhysiker, fand die Heisenberg'sche Unschärferelation (1927) zur Deutung der Quantentheorie.

Suchte nach einer Weltformel für alle Elementarteilchen und deren Gesetze.

Kurz-Biographie


Johannes Kepler
(1571-1630)

Keplersche Gesetze; Arbeitete über Logarithmen und Polyeder

Mehr über Johannes Kepler ...Mehr über Johannes Kepler ...


Leonardo da Vinci
(1452 - 1519)

Leonardo

ital. Maler, Bildhauer, Architekt, Techniker und Naturforscher.


Luca Pacioli
(ca. 1445 - 1517)

Ital. Mathematiker.

Mehr über Pacioli ...Schrieb das bis dahin vollständigste Handbuch der angewandten Mathematik


Parmenides
(ca. 515 - 445 v. Chr.)

griech. Philosoph, Begründer der Eleatischen Schule.

Unveränderlichkeit des Seins ist das Wesen der Welt.

Leugnete Bewegung und Widerspruch.


Pentagramm

Mehr über Polygone ...Mehr über Polygone ...

Schon 1800 v. Chr. in Mesopotamien konstruiert.

Für die Pythagoräer ein heiliges Zeichen, im Mittelalter ein magisches Symbol (Drudenfuß).


Platon
(ca. 428 - 348 v. Chr.)

Mehr über Platon ...Mehr über Platon ...

griech. Philosoph, Ordnete im Timaios den Platonischen Körpern die vier Elemente des Kosmos und den Himmelsäther zu.


Platonische Körper

(Regelm. Polyeder)

1. konvexe Polyeder

2. Flächen: paar-
 weise kongruente
 reguläre Polygone

3. kongruente Ecken

(auch: reguläre Vielflächner)

Tetraeder

Tetraeder


Würfel

Würfel


Oktaeder

Oktaeder


Dodekaeder

Dodekaeder


Ikosaeder

Ikosaeder

(Abb. Sam Gratrix)


Polyeder

(Vielflächner)

Räumliches System von Vielecken. Jede Seite eines Vielecks ist mit genau einer Seite eines anderen Vielecks identisch. Die Vielecke heißen die Seitenflächen, ihre Seiten die Kanten und ihre Eckpunkte die Ecken des Polyeders.

Duales Polyeder

Seine Ecken sind die Mittelpunkte der Flächen des Ausgangspolyeders.

Kehrt man diese Prozedur um, erhält man verkleinert das Ausgangspolyeder.

Beide Körper besitzen die gleiche Anzahl Kanten und dieselben Symmetrieachsen.

Einfache Polyeder

Ihre Oberfläche läßt sich stetig in eine Kugelfläche deformieren.


Die Namen

der Polyeder setzen sich aus einem griechischen Präfix für die Seitenzahl und der Silbe -eder (“Seite") zusammen:

1

mono

2

di

3

tri

4

tetra

5

penta

6

hexa

7

hepta

8

okta

9

ennea

10

deka

11

hendeka

12

dodeka

13

triskaideka

14

tetrakaideka

15

pentakaideka

16

hexakaideka

17

heptakaideka

18

oktakaideka

19

enneakaideka

20

ikosa

24

ikositetra

 


Polygon (Vieleck)
Ebene Figur, die durch eine Folge paarweise verbundener Geradenstücken begrenzt wird. Die Geradenstücken sind die Seiten, ihre Verbindungspunkte die Ecken des Polygons.

Konvexe Polygone
Ein Polygon ist konvex, wenn seine Innenwinkel kleiner als 180° sind und es keine sich kreuzenden Seiten besitzt. Die Verbindungsstrecke zweier innerer Punkte liegt stets vollständig im Innern des konvexen Polygons.

Regelmäßige Polygone
sind Polygone, deren Seiten gleich lang und deren Innenwinkel gleich groß sind.


Pythagoras
(ca. 580 - 500 v. Chr.)

Mehr über Pythagoras ...griech. Philosoph aus Samos.

Der Satz des Pythagoras wird ihm zugeschrieben.


Schlegeldiagramm

Mehr über Schlegeldiagramme...Punkte, Kanten, Gebiete des Diagramms entsprechen den Ecken, Kanten und Seiten d. Polyeders.


Steinball
(ca. 3000 v. Chr.)

Zur Frühgeschichte ...Zur Frühgeschichte ...


Ein regelmäßiger Sternkörper ist ein nichtkonvexer regelmäßiger Körper.

Kleines Sterndodekaeder

Kleines Sterndodekaeder

Großes Dodekaeder

Großes Dodekaeder

Großes Sterndodekaeder

Großes Sterndodekaeder

Großes Ikosaeder

Großes Ikosaeder

(Abb. Sam Gratrix)


Theaitetos
(416 - 369 v. Chr.)

Freund Platons.

Wird als Autor der Bücher X und XIII der "Elemente" gesehen.


Lösungen:

Regelmäßigkeiten:

1.

Die Seiten-flächen sind regelmäßige Polygone.
b, c, d, e, f, g, h, i

2.

Jeder Eck-punkt verbindet gleich viele Vielecke
b, c, d, e, f, g

3.

Die Vielecke sind paarweise kongruent
b, c, d, e, f, h, i

 

Innenwinkel:

Eine räumliche Ecke wird aus mindestens drei Flächen gebildet. Damit ein konkaver Körper entsteht, muss die Summe der Innenwinkel der Flächen an dieser Ecke kleiner als 360° sein.

Eschers Sterne:

Die fünf Platonischen Körper, die Kombination dreier Oktaeder (sowohl in Flächen- als auch in Kantendarstellung), zweier Würfel (unten), zweier Tetraeder (oben), die Kombination von Würfel und Oktaeder, das Kuboktaeder, das rhombische Dodekaeder u.a.

Durch Abschneiden oder Abschleifen der Ecken kann ein Platonischer Körper in den zu ihm dualen Körper überführt werden (s. Abbildungen)

Der Euler'sche Polyedersatz:

E + K - F = 2